|
Вообще говоря, на случайных совпадениях разного рода во многом построена вся наша жизнь, в которой, согласно одному из «афонаризмов»:
Все может быть и быть все может,
И все, что может, — может быть.
Но одного лишь быть не может —
Того, чего не может быть.
В условиях «чистой» случайности, где действуют определенные закономерности, тоже всякое возможно. Кроме невозможного, конечно. Но если возникло какое-то совпадение, которое явилось успешным результатом целенаправленного и запланированного учета действующих вероятностных закономерностей на основе интуитивных ощущений или рациональных выкладок то правомерно было бы рассматривать такой случайный результат, как явление вполне закономерное.
Мера случайности или закономерности совпадения в пространствах «чистого» случая зависит от того, в какой степени удается интуитивно или с расчетом успешно учесть действующие там вероятностные законы.
Представим игрока, который при бросках «идеальной» монеты каждый раз делает ставку на эффект последействия или ориентируется по звездам. Полученный тогда результат представляется более обоснованным рассматривать как полностью случайное совпадение, хотя астрологи могут и возражать против этого.
Но если тот же игрок последовательно выдерживает некую линию поведения, основанную на своем реально существующем даре предвидения, интуиции или грамотных вероятностных расчетах (например, с учетом эффекта выбора или первой теоремы арксинуса), то возникающий суммарный итог, хотя он и состоит из цепи отдельных совпадений, будет уже предопределен в соответствующей мере теми действующими закономерностями, которые были должным образом учтены.
Как уже подчеркивалось, традиционные пространства поведения рынка являются неопределенными, так сказать, в самом «худшем» понимании этого слова. «Дурь» этой неопределенности выражается в неясности того, когда, насколько и как долго поведение рынка «отлетит», к примеру, от фундамента макроэкономики или каких-то других правил игры, по которым рынок может вести себя.
Поэтому результаты работы трейдера в традиционных пространствах могут быть закономерными лишь в той степени, в какой ему удалось верно разобраться в расстановке движущих сил рынка и правильно учесть это в своих решениях. Если же сделанные оценки оказались неверными, а действия неуместными, то возможные положительные достижения, полученные в результате просчета, — это явно случайное совпадение.
Дополнительное измерение — это пространство «чистой» случайности. Здесь действуют только вероятностные закономерности. Поэтому если успешные решения принимались с учетом действующих вероятностных закономерностей, то результаты будут уже не «чисто» случайными, а закономерными совпадениями.
Решения в дополнительном измерении будут давать полностью случайные результаты (совпадения) только тогда, когда принимаются без учета действующих здесь вероятностных закономерностей. Если их удается грамотно учесть, то итог будет закономерным совпадением.
Вероятность совпадения как случайная величина. Если мы примем на вооружение некую систему учета-расчета вероятностных закономерностей и затем проведем несколько серий испытаний, то получим эмпирические значения успешности совпадений. Для каждой серии можно рассчитать отношение k(совп)/r, т.е. числа успешных совпадений к длине серии испытаний. Данное отношение — это эмпирическая вероятность совпадений в данной серии:
р(ехр) = k(совп)/r.
Величина отношения р(ехр) может меняться от серии к серии случайным образом. Иначе говоря, в качестве случайной величины можно рассматривать не только число совпадений, но и саму вероятность совпадения. Будучи случайной величиной, она может быть охарактеризована соответствующими теоретическими показателями математического ожидания и дисперсии.
Случайное совпадение — это событие, которое может быть охарактеризовано соответствующей вероятностью. Но эта вероятность тоже является случайной величиной, имеющей свои показатели математического ожидания и дисперсии.
Тогда, сравнивая теоретические оценки вероятности, ожидаемой согласно модели «чистой» случайности, с теми, что были получены экспериментальным путем, можно делать соответствующие выводы. Здесь возможны два крайних варианта:
• фиксируемые отклонения могут находиться в пределах допустимой статистической ошибки, что говорит об отсутствии каких-либо закономерно действующих факторов;
• фиксируемые отклонения могут быть статистически значимыми, что свидетельствует о том, что это закономерное явление.
Напомним некоторые оценки.
Для биномиальной модели вероятность успешного совпадения в каждом испытании равна значению р. Эмпирическая вероятность «успеха» совпадений по серии испытаний вычисляется как соотношение общего числа имевших место «успехов» (k) и всех испытаний (r):
р(ехр) = k / r.
По известным формулам получаем, что математическое ожидание вероятности «успеха» Е(k):
Е(k) = р.
При тех же исходных условиях дисперсия s2 вероятности «успеха»:
s2 = (p x q) / r.
Для r биномиальных испытаний в рамках модели «идеальная монета» (р = q = 0,5) стандартное отклонение:
s2 = 1 / 4 r.
Как видим, стандартное отклонение вероятности «успеха» от его математического ожидания с возрастанием r (при постоянном р) убывает. Проще говоря, чем больше испытаний, тем меньшим будет отклонение эмпирический вероятности «успеха» от ее математического ожидания.
Для модели «идеальная монета» с возрастанием числа испытаний r абсолютное отклонение числа «успехов» возрастает, а отклонение вероятности «успеха» от ее математического ожидания убывает.
Для оценок вероятности отклонения непосредственно самой вероятности «успеха» можно также пользоваться теоремой Чебышева.
Полученная таким образом оценка называется доверительным интервалом.
Статистическая проверка биномиальных гипотез. Статистические данные о вероятности «успеха», полученные в экспериментах по биномиальной модели испытаний, могут подтверждать или опровергать оценку, теоретически принятую в качестве рабочей гипотезы.
Это выясняется на основании того, в какой мере отклонения экспериментальных данных укладываются в теоретически определенный доверительный интервал.
Экспериментальные результаты позволяют дать статистическую оценку справедливости теоретически принимаемых гипотез о случайности или закономерности отклонений от математического ожидания.
Рассмотрим пример.
Предположим, что некий разработчик рекламирует свой программный продукт, утверждая, что изобретенная торговая система генерирует «сигнал», который дает результаты, осторожно оцениваемые как р > 0,5. Если в качестве «нулевой гипотезы» считать условие р = 0,5, то это «несколько лучше».
Иначе говоря, предполагается, что получаемый с помощью предлагаемой системы результат не является «чисто» случайным совпадением, а закономерно отражает заложенные разработчиком в чем-то верные соображения и представления о поведении рынка.
Но потенциальный клиент занимает осторожную позицию и начинает с «нулевой гипотезы», согласно которой результаты все же будут случайным совпадением. А отклонения от р = 0,5 лежат в пределах статистической ошибки.
Для статистической проверки «нулевой гипотезы» специалистами было решено провести 25 экспериментальных торговых операций, которые должны показать, выйдет ли эффективность «сигнала» за пределы ожидаемых случайных совпадений.
Делаем расчет дисперсии вероятности для «нулевой гипотезы» (р = 0,5):
Тогда стандартное отклонение от значения р = 0,5 — это s = 0,1.
Согласно грубой оценке по теореме Чебышева (для р = 0,5), имеем следующие доверительные интервалы:
• с вероятностью 75% все отклонения будут в пределах:
0,3 < р < 0,7 (т.е. 0,5 - 2 х 0,01 и 0,5 + 2 х 0,01);
• с уверенностью на 90% для пределов:
0,2 < р < 0,8 (т.е. 0,5 - 3 х 0,01 и 0,5 + 3 х 0,01).
Это означает, что вполне уверенно (не менее чем на 90%) можно будет говорить о подтверждении заявления трейдера об эффективности его системы генерирования «сигнала», если значение:
р(ехр) > 0,8.
Иначе говоря, число «успехов» должно оказаться выше 20 из 25 генерированных «сигналов». Соответственно варианты значений р(ехр), которые хуже, не могут рассматриваться как удовлетворительные по данному критерию.
Впрочем, все зависит от того, какие доверительные интервалы рассматриваются как приемлемые по своей доказательности. Если ограничиться 75%-ным критерием, то «барьером», который потребуется преодолеть, станет 17 из 25.
Теорема Байеса и вероятность совпадения. Обратим внимание на то, сколь значительным может быть даже чисто случайное отклонение. Даже, если в ходе проверки успешно сработают все 25 сигналов, это тоже может быть случайностью, хотя и маловероятной. Необходимую ясность здесь способны внести только дополнительные эксперименты.
Но до того, как они начнутся, оценка вероятности «успеха» вызывает к себе лишь некоторую степень доверия, которая в свою очередь основана на интуиции, здравом смысле или каких-то иных гипотетических соображениях наблюдателя.
Чтобы отличать такое сугубо личное отношение от статистически обоснованных оценок, иногда говорят о «персональных» вероятностных суждениях. Тем самым подчеркивается факт выражения личной (персональной) степени доверия наблюдателя к исходной (априорной) оценке вероятности.
Конечно, последующие дополнительные эксперименты могут укреплять или ослаблять эти «персональные» оценки.
Уже представленную ранее теорему Байеса об условной вероятности и принято использовать для внесения изменений, соответствующих результатам экспериментов.
Теорема Байеса является одним из оснований, которое используется для внесения изменений в исходные гипотетические представления в результате дополнительной экспериментальной проверки.
Рассмотрим развитие ситуации в нашем прежнем примере: после некоторой доработки разработчик уточнил свое утверждение. Теперь он уверен, что его система способна давать результат на уровне 7 «успехов» из каждых 10 генерированных «сигналов».
Таким образом, скептик должен предварительно как-то определить свое личное отношение к двум гипотезам: «нулевой» и «0,7». В такой ситуации удобно использовать оценки в виде шансов в пользу той или иной гипотезы (как это обычно делается в букмекерских конторах).
Скептик «посоветовался с собой» и решил, что «нулевой гипотезе» (р = 0,5) он доверяет на 98%, а «гипотезе р = 0,7» — лишь на 2%. Это и есть «персональные» вероятности: Р(перс; р = 0,5) = 0,98 и Р(перс; р = 0,7) = 0,02.
Здесь важно подчеркнуть, что гипотезы, которые относятся к вариантам р = 0,5 и р = 0,7, должны составлять пространство элементарных событий. Это значит, что если степень доверия к одному из них выражается как Р(перс), то степень доверия к другому событию обязана стать 1 - Р(перс).
В данном случае имеем «крайне скептическое» соотношение — 49:1 в пользу «нулевой гипотезы».
Далее, скептик проконтролировал 25 экспериментов по генерированию «сигнала» и зафиксировал 17 «успехов», что соответствует р(ехр) = 0,68.
Подвели итог.
Разработчик посчитал, что он «почти доказал» свое утверждение. Но скептик сомневается: ведь результат-то оказался на границе лишь 75%-ного доверительного интервала.
Тем не менее, скептик не может игнорировать полученные в ходе эксперимента данные и готов внести в исходные шансы (49:1) коррективы, но только на основе научной аргументации.
В этом качестве и служит теорема Байеса: необходимо рассчитать степень доверия к двум гипотезам (р = 0,5 и р = 0,7) при условии, что произошло событие р(ехр) = 0,68.
Тогда скорректированные шансы в пользу «нулевой гипотезы»:
Можно посчитать самостоятельно или найти по таблицам, что:
Р(k = 50%; r = 25; р = q = 0,5) = 0,032
и
Р(k = 68%; r = 25; р = 0,68; q = 0,32) = 0,165.
Тогда экспериментальное соотношение шансов двух гипотез становится равным примерно:
(49 х 0,032) / (1 х 0,165 ) = 9,50,
т.е. 95/10, или примерно 9/1, вместо прежних 49/1.
Но допустим, что разработчик проявил настойчивость, и к тому же ему сопутствует удача: еще в одной дополнительной серии из 25 экспериментов он вновь получил 17 «успехов».
Скептику приходится вносить поправку теперь уже в предыдущую оценку:
(95 х 0,032) / (10 х 0,165 ) = 1,84,
т.е. уже получается величина примерно 9/5 вместо прежних 9/1.
Наконец, скептик договорился с неутомимым исследователем провести третью решающую серию из 25 экспериментов.
Разработчику снова повезло: те же 17 «успехов».
После окончательной поправки скептиком своего отношения под влиянием трех экспериментальных серий по 25 испытаний и с 17 «успехами» в каждой серии получаем соотношение:
(9 х 0,032) / (5 х 0,165 ) = 0,36.
Это означает, что в оценке скептика произошел «перелом»: впервые он вынужден оценивать шансы гипотезы р = 0,7 более предпочтительно, чем «нулевой». Если до этого шансы в пользу неблагоприятной для разработчика «нулевой гипотезы» были 9/5, то сейчас это уже примерно 2/5, т.е. произошел сдвиг от р = 0,5 в пользу р = 0,7.
Между прочим, для этого потребовались три «успешные» серии подряд: тут даже самый заядлый скептик-экстремист (98 против 2) должен немедленно сдаваться. Или — потребовать еще серию, а может, и не одну с тем, чтобы сдаться при оценке, скажем, 1:1000.
Однако никто не сможет предугадать исход заранее. И даже, если все опять сложится благополучно для трейдера-исследователя, это можно рассматривать просто как невероятное везение: вот такой у него, мол, замечательный арксинус!
Тем не менее, использование данного способа «проверки на случайность» тех результатов, с которыми приходится сталкиваться в различных исходных условиях, позволяет делать вполне уверенные оценки, касающиеся эффективности конкретно применяемых систем работы.
Оценка фактора удачливости. Человек живет в мире, полном случайностей. Там, где они подстерегают нас особенно усердно, не стоит удивляться тому, что одним людям сопутствует удача, а другим она кажется недостижимой роскошью.
Действительно, каждый из нас не раз убеждался, что по жизни есть более и менее удачливые люди. Одни — явные «везунки». К ним «счастье придет и на печи найдет». У других — ничто не складывается. О них говорят: «Одна копейка — и та ребром». А третьих — словно на волнах качает: то холодно от неудач, то жарко от счастья.
Все это — блики законов арксинуса.
Не зря поэтому принято считать, что их значение далеко выходит за «монетные» рамки абстрактных испытаний. Биномиальная модель Бернулли приложима при изучении реальных процессов, происходящих не только в физике, но и в любых других сферах, где правит случайность. Во всяком случае, страховые компании сориентировались быстрее всех. Они давно взяли теорию вероятности на вооружение и научно обоснованно повышают страховые взносы тем, кто имеет склонность попадать в неприятности.
Философское звучание здесь в том: не рождается ли каждый человек с заданной на всю жизнь предрасположенностью? Например, фаталисты, не утруждая себя доказательствами, отвечают на этот вопрос утвердительно. Столь же бездоказательно мы беремся верить в обратное: человек всегда сам может сделать выбор, который способен изменить последующий ход жизни.
Экспериментально же об этом можно судить только на склоне прожитых лет.
Но каждому трейдеру, решившему испытать на себе действие этих законов в практике торгов, было бы полезно проанализировать свой жизненный путь.
Если тот увенчан не шипами, а розами, то можно надеяться, что изначально присущая удачливость, согласно эффекту выбора, может найти свое продолжение и в трейдинге.
С другой стороны, человеку, которому по жизни «вечно не везет», потому что родился он не с той стороны синусоиды («не та предрасположенность»), лучше, возможно, воздержаться от испытания своей невезучести в спекулятивных операциях на рынке.
Впрочем, поскольку мы — противники фатализма и сторонники веры в способность человека управлять своей судьбой в определенной мере, конечно, нельзя исключать, что даже самый неудачливый по жизни человек вдруг получит лакомый кусок своей синусоиды в трейдинге.
В конце концов, любой живущий на земле Homo sapiens уже априори является «везунком»: ведь ему, сумевшему опередить многие миллионы менее удачливых претендентов, был дарован шанс появления на свет.
Остается надеяться, что на этом везение не закончилось.
В этой связи прелюбопытно было бы оценить с помощью статистической проверки свою не воображаемую, а реально имеющую место удачливость (или, возможно, имеющийся психологический дар предвидения).
Конечно, окончательный вердикт любым оценкам можно вынести только после завершения жизненного пути человека. Да и то, в силу часто возникающей неоднозначности оценки одних и тех же событий («все, что ни делается, — к лучшему»; «не было счастья, да несчастье помогло» и другие народные наблюдения) установить это в безусловном порядке удается далеко не всегда.
Мы ограничимся оценкой удачливости (везения), которое проявляется при игре «в орлянку» (модель: опыты Бернулли с «идеальной» монетой, в роли которой может выступать генератор случайных чисел).
В качестве одного из самых простых и показательных способов предлагается разновидность того порядка действий, который выше уже применялся для статистической проверки гипотез:
1) наугад (предварительным броском монеты) устанавливаем «предпочтительную сторону» («орел» или «решка») для последующих ставок на нее;
2) проводим по крайней мере четыре серии (N = 4) по r = 25 испытаний, при которых неизменно делаем ставку на «предпочтительную сторону»;
3) для каждой серии строим кривую блуждания;
4) оцениваем результаты.
«Нулевой гипотезой» будет служить предположение, что отклонение результатов от математического ожидания попадет в пределы статистической погрешности, значимость которой можно примерно оценить исходя из теоремы Чебышева.
Отклонение от «нулевой гипотезы» позволит судить о степени удачливости, но лишь применительно к опыту с «идеальной» монетой и только для данного эксперимента.
Насколько удачливость (или невезучесть), показанная здесь, может иметь продолжение и в практической работе с «сигналами», неизвестно. Для прояснения потребуется дополнительная статистическая проверка соответствующей гипотезы. Она может основываться, в частности, на предположении о действии эффекта выбора: удачливость, как и талант, если есть, то проявляется во многих областях. Но окончательно подтвердить или опровергнуть это смелое суждение способна только практика.
Поэтому к полученным оценкам нужно относиться как к таким, которые имеют относительное значение. Обобщать эти результаты слишком широко едва ли было бы корректно.
Однако при прочих равных условиях результат работы трейдера будет определяться не только удачливостью. Более того, мы полагаем необходимым для трейдера делать ставку вовсе не на нее. Проявление предрасположенности трейдера должно учитываться просто как данность.
Главным же в практической работе должны быть умение расчетливо использовать вероятностные закономерности и продуктивное использование собственной интуиции и других психологических возможностей человека.
Каким будет «вес» и соотношение этих факторов в работе данного конкретного трейдера, зависит только от него самого.
Только от самого трейдера зависит, что и в какой мере будет играть в его работе большую роль: удачливость, психологические таланты или умение применять на практике знание вероятностных закономерностей.
К рассмотрению именно этих вопросов мы и перейдем.
Резюме
Несмотря на кажущуюся противоречивость словосочетания «закономерности случайных событий», оно вполне оправдано, поскольку «воля чистого случая» тоже действует по-своему упорядоченно.
«Успешность» исхода испытаний, будучи случайным событием, подчиняется закономерностям статистического распределения, характерного для всякого пуассоновского процесса. Зная исходные вероятности «успеха» и «неудачи» для отдельного испытания, можно рассчитать математическое ожидание итогового результата и величину стандартного отклонения от него.
Непосредственная конфигурация результатов, которая может складываться в процессе биномиальных испытаний, подчиняется своим вероятностным закономерностям. Основное смысловое содержание их заключается в законе повторного логарифма: несмотря на незыблемость закона больших чисел, не позволяющего ожидать большего, чем исходная вероятность «успеха», в каждой конкретной серии испытаний могут произойти любые отклонения от среднестатистических значений наблюдаемой случайной переменной.
Законы (теоремы) арксинуса уточняют это представление и обосновывают предположение о двух наиболее вероятных конфигурациях кривой блуждания результатов биномиальных испытаний при равновероятности исходов:
• во-первых, это вполне выраженный тренд в благоприятном или неблагоприятном направлении;
• во-вторых, волновой характер смены периодов «успеха» временами «неудач».
В конкретной серии биномиальных испытаний «воля чистого случая» проявляет себя, прежде всего, в зависимости от удачливости игрока.
Вместе с тем, если он имеет возможность выбирать меру и способ своего участия в игре, то результат будет определяться следующими факторами:
• удачливостью, которая влияет на успешность случайных совпадений;
• интуицией и/или даром предвидения трейдера;
• умением расчетливо использовать вероятностные закономерности.
В каком порядке эти факторы расположатся для данного конкретного трейдера, будет зависеть только от него самого.
|
