Тем не менее, у нас на руках оказывается некое число, соответствующее оценке годовой доходности по результатам тестирования. Предполагается, что тестирование проводилось без применения плеча, потому что именно так и нужно проводить тестирование.
Проблема в том, что на самом деле, оперируя годовой доходностью, мы пытаемся оценить скорость роста портфеля. Однако годовая доходность из скорости роста портфеля получается нелинейным образом, с искажениями, которые тем больше, чем активнее мы применяем разные изощренные способы управления капиталом. К примеру, возьмем два портфеля: один из них растет со скоростью 0,25% в день, а другой со скоростью 0,5% в день, и прибыль при этом сразу же реинвестируется. Скорости роста портфелей, таким образом, отличаются вдвое, и второй портфель логично было бы оценить, как вдвое лучший по доходности. Однако смотрим на годовую доходность, считая в году 250 торговых дней: первый портфель получил прибыль +87%, а второй +248%. Как видно, отношение годовых доходностей вовсе не 2, а 2,85. Значит ли это, что второй портфель на самом деле не вдвое, а почти втрое лучше первого? А если мы возьмем не годовую, а десятилетнюю доходность, то отношение доходностей будет уже не 2,85, а 507. Так может, второй портфель в 507 раз лучше первого?
Как видно, годовая доходность является неудачным параметром для оценки и сравнения скоростей роста разных торговых систем. Нужен другой, более объективный параметр, на который не влияли бы искажения, вносимые реинвестированием. Один вариант – переводить в дневные показатели роста, подобные тем, с которых мы начали предыдущий пример. Для чисел меньших 10% любые нелинейные искажения становятся пренебрежимо малыми. Однако есть другой способ, который представляется более удобным, поскольку не требует перестраиваться на другой масштаб величин.
Если убрать из торговли реинвестирование, мы должны получить вполне линейный параметр доходности, пригодный для сравнения разных систем. Фактически, это будет та самая «дневная доходность», умноженная на количество торговых дней в году, будем считать ее «базовой». Таким образом, базовой доходностью мы будем называть доходность системы, какой она была бы без применения любого управления размером позиции вообще, то есть при торговле равной суммой. Отталкиваясь от базовой доходности, мы в дальнейшем и будем рассчитывать доходности стратегии с разными способами управления размером позиции.
Поскольку, скорее всего, ваш тестер систем при тестировании пересчитывает размер позиции к текущему размеру капитала, базовая доходность будет несколько отличаться от оценки тестера. Отличие это идет от двух факторов: от влияния убытка пересчета и от увеличения доходности вследствие реинвестирования. Убыток пересчета при игре в лонг без плеча, т.е. с коэффициентом N=1 равен нулю, а вот при игре в шорт с тем же коэффициентом N=1 все-таки имеет место, однако в большинстве случаев размер плеча даже полу-Келли в разы больше единицы, а, значит, влиянием убытка пересчета в данном случае вполне можно пренебречь, тем более, что особенная точность в оценке будущих доходностей не нужна.
Что же касается эффекта реинвестирования, то здесь искажение может быть существенным в случае больших величин доходности, например, больше 40% годовых. Привести доходность с реинвестированием к базовой доходности можно по следующей формуле:
D0% = 100*ln(1+D% / 100%),
где D% – доходность с реинвестированием, в процентах, а D0% – базовая доходность, т.е. без реинвестирования, тоже в процентах.
И обратно:
D% = 100*(exp(D0% / 100%) – 1)
Базовая доходность позволяет сравнивать скорости роста портфелей для различных систем. К примеру, если одна система показывает 100% годовых прибыли, а другая 200% годовых, насколько в действительности они отличаются по скорости роста портфеля? Напрямую годовые результаты сравнивать некорректно, поскольку на них сказывается нелинейный эффект реинвестирования, нужно переходить к базовым доходностям и сравнивать их: у первой системы базовая доходность 69%, у второй 110%. Отношение скоростей роста портфеля всего 1,6, а не 2, как можно было бы предположить изначально.
Влияние плеча на годовую доходность также нужно оценивать через базовый показатель – в первом приближении, без учета убытка пересчета, плечо пропорциональным образом увеличивает базовую доходность. Допустим, если взять ту систему, что показывает доходность 100% годовых, какую доходность она покажет с плечом 1:1, т.е. при N=2? Базовая доходность, как мы уже выяснили, для этой системы равна 69%, плечо увеличит ее вдвое до 138%, а это даст оценку годовой доходности на уровне 297% годовых, а вовсе не до 200%.
Значительно проще и понятней эти формулы будут выглядеть, если мы станем рассматривать доходность не в процентах годовых прибыли, а в коэффициентах изменения портфеля, например, доходности 40% годовых соответствует изменение портфеля в 1,4 раза, 100% годовых это изменение в 2 раза и т.д. В этом случае формулы выглядят так:
К0 = 1 + ln(K),
К = exp(K0 – 1),
где K и К0 соответственно обычный и базовый коэффициенты изменений.
Применение плеча с коэффициентом N, таким образом, приводит к следующему коэффициента изменения портфеля: KN=exp(N*ln(K)).
Влияние убытка пересчета начинает существенно сказываться для плеч порядка критерия Келли, уже для плеч уровня полу-Келли убыток пересчета «съедает» четверть базовой доходности. Это влияние будет рассмотрено далее.
|