|
В первом случае, т.е. при положительных текущих результатах, объявление «стоп-операция» позволяет не потерять достигнутого, если возникнут неблагоприятные обстоятельства.
Но при этом существует вероятность упустить прибыль, если положительные тенденции все же продолжатся. На этот счет в области азартных игр даже существует рекомендация: никогда не останавливаться, пока все идет хорошо (даже, более того, — обосновывается необходимость, если складывается удачный ход событий, дополнительно увеличивать задействованные финансовые ресурсы).
«Стоп» для убыточных операций объявляется для того, чтобы «разорвать» цепь негативных результатов.
Но и здесь существует риск упустить свою прибыль, если после остановки все меняется к лучшему.
В традиционных пространствах любые решения принимаются при большом эмоциональном накале.
Возникающая естественным образом озабоченность игрока в связи с возможностью потерять уже приобретенное («жадность») заставляет трейдера закрывать выгодную позицию преждевременно. С другой стороны, заставить себя зафиксировать плавающий убыток («страх») в то время, когда в душе еще теплится надежда, что все непременно образуется, — может стать просто невыполнимой задачей.
В дополнительном измерении — ситуация иная.
Здесь ордера stop-profit и stop-loss являются незыблемым условием «настройки» сигнала. И речь идет только о том, чтобы разорвать цепь неблагоприятных исходов в определенном месте.
Стоп-операция в дополнительном измерении - это разрыв цепи неблагоприятных событий в определенном месте.
Использование таких «объявлений» имеет важное значение в ходе принятия торговых решений на основании анализа информации из дополнительного измерения.
Для прикладного использования рассмотрим некоторые факторы, которые следует учитывать в дополнительном измерении на основе данных классической задачи о разорении.
Прежде всего, в нашем распоряжении должен быть некоторый «сигнал», который «настроен» таким образом, что вероятности исходов «успех» (сработал stop-profit) и «неудача» (сработал stop-loss) принимают значения р и q.
При этом цель по выигрышу w — это аналог длины пути до уровня объявления «стоп-операция» по прибыли, а начальный капитал z — аналог расстояния до уровня объявления «стоп-операция» по убытку.
Соответственно:
• P(w) означает вероятность «победного» выигрыша для данного уровня, когда объявляется «стоп-операция»;
• Q(-z) — вероятность разорения, когда достигается уровень объявления «стоп-операция» из-за нарастания убыточных операций.
Значение (w - z) является числом операций, составляющих «чистый» выигрыш.
Заметим, что представленные ранее формулы к задаче о разорении получены при условии, что в каждом испытании «проигрывается» или «выигрывается» одна «условная единица» капитала. Поэтому эти формулы непосредственно приложимы к таким «сигналам», которые «настроены» на условии dSP = dSL = одна «условная единица».
Как мы только что видели, изменение «настройки сигнала» существенного влияния на математическое ожидание результата не оказывают, изменяя только оценку вероятности выигрыша. В частности, условие dSP = dSL означает, что в каждом отдельном испытании имеем неблагоприятное значение р < 0,5.
Однако для отдельных серий испытаний можно повысить вероятность выигрыша P(w) за счет регулировки уровней объявления «стоп» на продолжение операций.
Пример A: dSP = dSL = 30 базисных пунктов. Эта величина и будет служить единицей «условного капитала».
Предположим, нам удалось обеспечить при каждой операции spread = 3. Тогда получаем оценку вероятностей: р = 0,45; q = 0,55.
Рассмотрим ситуацию, близкую к той, которая является типичной для большинства трейдеров-индивидуалов: z = 9 (начальный капитал около $2700 при цене одного пункта равной $10).
Как мы знаем из классического решения задачи, в соответствии с действующими вероятностными закономерностями наиболее благоприятные перспективы возникают только тогда, когда целью ставится минимальный выигрыш при максимально возможной ставке. В нашем примере это ставка и одновременно конечная цель: увеличить начальный капитал на одну «условную единицу» (30 базисных пунктов) и достичь w = 10.
Иначе говоря, «стоп-операция» объявляется при достижении любого из двух исходов:
• w = 10 (объявление «стоп» по прибыли);
• z = 0 (объявление «стоп» по убытку).
Говоря проще, альтернатива заключается в том, что или в дополнение к начальному капиталу выигрывается одна единица, или он проигрывается весь. Очевидно, что это очень «асимметричная» альтернатива, при которой вероятность выигрыша просто обязана быть выше, чем вероятность проигрыша. Посмотрим насколько.
Получаем математическое ожидание выигрыша по числу операций:
E(w = 10) = 10x0,79-9 = -1.
Как видим, это наилучшее значение, если его сравнивать с теми, что получались при «настройке сигнала» в приведенных ранее примерах.
Вероятность разорения: Q(z = 0) = 0,21.
Вероятность достижения цели (увеличение капитала до w = 10):
P(w = 10) = 0,79.
Средняя продолжительность игры:
D(z = 0/w = 10) = 11 испытаний.
«Настройка» сигнала dSP = dSL (p < q) при прочих равных условиях дает наилучшее значение математического ожидания из всех худших, когда применяется принцип «минимальная цель при максимальной ставке».
Эти оценки нужно понимать в следующем смысле.
1) До того как произойдет одно из двух взаимоисключающих событий:
• сумма начального капитала увеличится на одну «единицу» до w = 10;
• будет потерян весь начальный капитал z = 9,
в среднем потребуется серия из 11 испытаний (естественно, с определенной вероятностью возможны случайные отклонения от этого значения).
2) Вероятность благоприятного исхода составляет в среднем 0,79 (примерно 0,8). Это значит, что благоприятный исход (w = 10) достигается в среднем в 8 из каждых 10 попыток-серий доиграться до определенного исхода (средняя продолжительность которых 11 испытаний). При этом в 2 попытках-сериях из каждых 10 ожидается потеря всего начального капитала z = 9.
3) Математическое ожидание результата (-1 «единица») означает, что в среднем для каждой из возможных 10 серий (примерно по 11 испытаний) мы будем иметь следующий баланс капитала:
• в 8 выигрышных сериях будет получено 8 «условных единиц» прибыли;
• в 2 проигранных сериях 2 X 9 = 18 «условных единиц» убытка;
• с учетом начального капитала z = 9 получаем баланс:
E(w = 10) = 9 + 8 - 18 = -1 (единица «условного капитала»).
В бесконечном продолжении такая игра является бесперспективной (потому что математическое ожидание имеет отрицательное значение). Но при ограниченном числе серий вероятность выйти победителем достаточно убедительна (вероятность достижения 0,79).
Аналогичным образом можно сделать расчет и для других соотношений z и w. Но мы особо выделим случай более чем 10-кратного увеличения начального капитала при той же цели. «Здравый смысл» подсказывает, что вероятность выигрыша должна быть гораздо выше, чем была.
Пример Б: условия те же, что и в предыдущем примере, но z = 99.
Другими словами, представим, что трейдер обладает капиталом, который в 11 раз больше, чем в предыдущем примере. Но цели ставятся столь же скромные: выиграть всего одну единицу «условного» капитала, т.е. 30 базисных пунктов (тогда w = 100),
Получаем следующие оценки.
Математическое ожидание результата:
E(w = 10) = -17,2.
Вероятность разорения:
Q(z = 0) = 0,182. Вероятность достижения цели:
P(w = 100) = 0,818. Средняя продолжительность игры:
D(z = 0/w = 100) = 172 испытания.
Как и ожидалось, столь серьезное увеличение начального капитала действительно повышает вероятность выигрыша, поскольку больший капитал малыми порциями труднее проиграть.
Однако неожиданным является то обстоятельство, что это увеличение не является существенным: оценка вероятности возрастает лишь незначительно с 0,79 до 0,82. Вместе с тем, усилий на «выяснение отношений» с рынком потребуется затратить непропорционально больше, чем в предыдущем примере: среднее число испытаний здесь 172, а там всего 11. Риторический вопрос: стоит ли овчинка выделки?
Таким образом, явное предпочтение следует отдать варианту действий по условиям примера А.
Относительный рост начального капитала в сравнении со ставкой повышает вероятность выигрыша, но в среднем потребует непропорционально больших усилий для достижения той же цели.
Принципиально важно подчеркнуть, что игра с применением этих расчетов на основе теории вероятностей обязана соблюдать важнейшее ограничение: необходимость обязательного выполнения заранее рассчитанного объявления «стоп» на продолжение прибыльных операций.
Если игрок, добившийся расчетного выигрыша, желает продолжить игру в том же формате, то он должен сделать соответствующую переоценку вероятности разорения и выигрыша. В противном случае ожидание столь же благоприятного результата при сохранении прежнего порядка игры ничем не оправдано, если, конечно, базироваться именно на рациональном подходе. Должны учитываться изменения исходного целеполагания и соответствующие коррекции остальных параметров задачи. Рассмотрим такой пример.
Пример В. Условия примера А, но с изменением цели выигрыша в сторону увеличения до w = 11. Иначе говоря, после первого «успеха» трейдер решил рискнуть еще раз и выиграть дополнительно одну единицу «условного капитала». Получаем вероятность разорения:
Вероятность достижения цели w = 11:
P(w = 11) = 1 - Q(z = 0) = 0,63. Математическое ожидание результата:
E(w = 11) = 11 x 0,63 - 9 = -2,1.
Средняя продолжительность игры:
Нетрудно заметить, что все показатели ухудшились, хотя и остаются пока благоприятными (если вовремя остановиться).
Читатель может проверить самостоятельно, что третья попытка добиться «успеха» и довести начальный капитал до w =12 будет характеризоваться вероятностью достижения этой цели, уменьшенной уже до 0,5.
В этом смысле сделанные расчеты вступают в прямое противоречие с наставлениями, рекомендующими придерживаться именно того порядка работы, который хорошо зарекомендовал.
Как видим, подобные ожидания не имеют оснований. На самом деле необходимо учитывать вероятностные оценки и на их основе ставить ордер «стоп-операция» по прибыли.
Продолжительное использование в пространствах случайных событий такого порядка работы с «равнонастроенным сигналом» (dSP = dSL), который, допустим, временно сумел себя хорошо зарекомендовать, вероятнее всего, приведет к последующему ухудшению результатов и в итоге - к разорению.
Вместе с тем, если трейдер удачлив не в меру, то благоприятная кривая арксинуса может быстро привести его к светлому будущему. И наоборот, даже при условии расчетной вероятности разорения равной всего 0,1 «невезучесть» игрока может преподнести ему самые неприятные сюрпризы.
К сожалению, всякий «успешный» порядок действий обладает «магнитными свойствами». Психологически весьма трудно отказаться от того метода, который «вот только что» работал отменно. Такой подход вполне оправдан в детерминистическом мире, где существует пространственно-временная определенность ожидаемых результатов.
А в мире случайных событий — свои законы, согласно которым результаты, скорее всего, будут «плавать». И если этого не учитывать, то можно попасть в ловушку неверных представлений, которые не подтверждаются ни вероятностными расчетами, ни реальным ходом событий.
В пространстве случайных событий факт возникновения периода эффективности в работе какого-то метода не гарантирует столь же благоприятных результатов и на все остальное будущее.
Наконец, кратко остановимся на оценках применения объявления «стоп-операция» для соотношений dSP и dSL, где они не равны между собой. Это уже другая «настройка сигнала», которая из-за невыполнения условия dSP = dSL требует вывода иных способов оценки.
Поскольку при таком соотношении прямое приложение решений задачи о разорении невозможно, мы приведем эти условия к соответствующему эквиваленту, который будет применим. Для этого необходимо рассчитать новые значения dSP' = dSL' и соответствующие величины вероятностей р' и q', которые давали бы те же оценки математического ожидания, что и для исходных условий dSP и dSL.
Последовательно сделаем это следующим образом.
1) Расчет q и р для заданного соотношения dSP < dSL:
р = (dSL - spread) : (dSP + dSL),
q = 1 - p = (dSP + Spread) : (dSP + dSL).
2) Оценка математического ожидания для dSP < dSL:
E = p x dSP - q x dSL.
3) Расчет эквивалентных значений dSP' = dSL', которые давали бы то же значение математического ожидания:
р' X dSP' - q' x dSL' = р х dSP - q x dSL.
Это уравнение можно представить как два:
р' X dSP' = р X dSP и q' х dSL' = p X dSP.
Кроме того, естественно, должно выполняться условие:
p'+q'-l.
В результате решения этих уравнений, где в качестве неизвестных выступают р', q' и dSP' = dSL', получим формулы определения необходимых «эквивалентных» значений:
р' = А/(А + 1),
q' = l-p=l/(A+l),
dSP' = dSL' = (р X dSP) / р' = (q X dSL) / q',
где под коэффициентом А обозначено выражение: А = (р/q) x (dSP / dSL).
Здесь dSP' = dSL' представляют собой «единицу условного капитала», который выигрывается или проигрывается в каждом испытании, соответственно, с вероятностью р' и q'. Именно эти значения мы и будем использовать, чтобы получить необходимые оценки по задаче о разорении при различных соотношениях dSP и dSL.
Рассмотрим ситуацию, когда dSP < dSL, которая, как мы знаем, дает благоприятную вероятность исхода при каждом испытании. Однако из-за большего значения стоп-ордера по убытку математическое ожидание выигрыша все равно остается негативным.
Пример Г. Двукратное соотношение в пользу убытка dSP/dSL = 30/60.
При spread = 5 получаем благоприятные вероятности исхода в каждом испытании: р = 0,61 и q = 0,39.
Математическое ожидание результата:
0,61x30-0,39x60 = -5,1,
что примерно соответствует соотношению dSP/dSL = 30/30, где было -4,8. Эквивалентные значения, пригодные для расчета по задаче о разорении:
р' = А/(А + 1) = 3/7 = 0,44,
q' = 1 - р' = 1 / (А + 1) = 4/7 = 0,56.
Эти значения несколько лучше, чем для dSP/dSL = 30/30, где было р = 0,42 и q = 0,58 (для spread = 5).
В качестве эквивалентной единицы «условного капитала» имеем:
dSP' = dSL' = (р х dSP) / p' = (q х dSL) / q' = 42 базисных пункта.
Тем самым, мы приходим к тому, что эквивалентом условия dSP/dSL = 30/60 являются испытания с вероятностями р' и q' и одинаковым размером проигранной или выигранной «единицы условного капитала», равной 42 базисным пунктам. Это позволяет рассчитать вероятность разорения и среднюю продолжительность игры для различных вариантов цели w и начального капитала z.
Но, как мы уже знаем, наиболее «выгодный» путь — максимальная ставка при минимальной цели. Если вновь принять z = 300 базисных пунктов ($3000 при стоимости пункта в $10), то:
z = 300 / 42 = примерно 7 «условных единиц»,
w = 7 + 1 = 8.
Вероятность разорения:
Q(z = 0) = 0,25. Вероятность победного выигрыша:
P(w = 8) = 0,75. Математическое ожидание результата:
E(w = 8) = 8 х 0,75 - 7 = -1,0 «условная единица».
Средняя продолжительность игры: D(z/w) = 8 испытаний.
Пример Д. Двукратное соотношение в пользу прибыли dSP/dSL = 60/30.
При spread = 5 получаем благоприятные вероятности исхода в каждом испытании: р = 0,28 и q = 0,72.
Эквивалентные значения, пригодные для расчета по задаче о разорении:
p' = 0,44,
q' = 1 - р' = 0,56,
dSP' = dSL' = (р х dSP) / p' = (q х dSL) / q' = 38 базисных пунктов,
z = 300 / 38 = примерно 8 «условных единиц»,
w = 8 + 1 = 9.
Вероятность разорения:
Q(z = 0) = 0,25. Вероятность победного выигрыша:
P(w = 8) = 0,75. Математическое ожидание результата:
E(w = 9) = 9 х 0,75 - 8 = -1,25 «условной единицы».
Средняя продолжительность игры:
D(z/w) = 8 испытаний.
Варьируя соотношение dSP и dSL в пределах двукратного превышения одной составляющей над другой, мы получаем примерно те же оценки вероятности разорения, математического ожидания и продолжительности игры, что были получены при условии dSP = dSL.
Можно проверить, что и десятикратные соотношения (dSP/dSL = 30/ /300 или dSP/dSL = 300/30) принципиальных изменений в эту картину не вносят.
В итоге мы приходим к следующему заключению:
• ни один из вариантов данного соотношения (dSP = dSL, dSP > dSL или dSP < dSL) не позволяет получить ощутимых преимуществ ни с точки зрения оценки вероятности разорения (победного выигрыша), ни по расчету математического ожидания, ни с учетом средней продолжительности игры.
Приведенные расчеты показывают, что варьирование вариантов соотношения dSP = dSL, dSP > dSL или dSP < dSL не дает преимуществ ни с точки зрения получения меньшей вероятности разорения, ни с более «выгодных» оценок математического ожидания и продолжительности игры.
Итак, трейдеру необходимо ориентироваться на два способа, с помощью которых он может повысить свои шансы на выигрыш через механизм объявления «стоп-ордеров»:
• при расчете соответствующих уровней следует исходить из целесообразности применения принципа «минимальная цель при максимальной ставке»;
• учитывать, что продолжительное применение успешно зарекомендовавших себя уровней объявления неизбежно приведет к разорению.
Трейдер имеет больше шансов избежать разорения, если он будет исходить из принципа «минимальная цель при максимальной ставке», а также учитывать, что продолжительное применение даже хорошо зарекомендовавших себя методов неизбежно ведет к ухудшению результатов.
|
