Статистический анализ временных рядов

Подробное описание методов статистического анализа временных рядов выходит за рамки этой книги. Мы вкратце рассмотрим традиционные подходы, выделяя при этом обстоятельства, которые имеют прямое отношение к предмету нашего изложения. Начиная с пионерской работы Юла, центральное место в статистическом анализе временных рядов заняли линейные модели ARMA. Со временем эта область оформилась в законченную теорию с набором методов — теорию Бокса-Дженкинса (см. [48]). В этом подходе модель задается двумя компонентами, характеризующими авторегрессию и скользящее среднее. Общая формула для процесса с авторегрессией и скользящим средним порядка (p,q) имеет вид:

где р— порядок авторегрессии (положительное целое число), q — порядок скользящего среднего, в, — шум (некоррелированный временной ряд, подчиненный гауссову распределению с нулевым средним и дисперсией с*). Коэффициенты a, и b, являются параметрами модели. Если q=0, то получается авторегрессионная модель AR(p), а если р = 0, — модель скользящего среднего MA(q).

Присутствие в модели ARMA авторегрессионного члена выражает то обстоятельство, что текущие значения переменной зависят от ее прошлых значений. Такие модели называются одномерными. Часто, однако, значения исследуемой целевой переменной связаны с несколькими разными временными рядами. Так будет, например, если целевая переменная курс обмена валют, а другие участвующие переменные — процентные ставки (в каждой из двух валют). Соответствующие методы называются многомерными. Общий вид уравнения многомерной модели такой:

где к — номер временного ряда (всего их — N). Математическая структура линейных моделей довольно проста, и расчеты по ним могут быть без особых трудностей выполнены с помощью стандартных пакетов численных методов. Следующим шагом в анализе временных рядов стала разработка моделей, способных учитывать нелинейности, присутствующие, как правило, в реальных процессах и системах. Одна из первых таких моделей была предложена Тонгом и называется пороговой авторегрессионной моделью (TAR). В ней, при Достижении определенных (установленных заранее) пороговых значений, происходит переключение с одной линейной AR-модели на другую. Тем самым а системе выделяется несколько режимов работы. Через 0, обозначим номер режима в момент f (8, = 1.2,....r). Тогда одномерная AR-модель с соответствующим номером дает:

Затем были предложены STAR-, или "гладкие" TAR-модели. Такая модель представляет собой линейную комбинацию нескольких моделей, взятых с коэффициентами, которые являются непрерывными функциями времени. Примером может служить следующее уравнение модели, в котором () — гладкая функция, принимающая значения от 0 до 1:

Содержание

Далее

Были предложены также многочисленные другие нелинейные модели анализа временных рядов.